Invertibilidad lateral de operadores funcionales con desplazamientos

Sea B(X, Y ) el espacio de Banach de todos los operadores lineales y acotados que actuan del espacio de Banach X al espacio de Banach Y . Si X = Y , entonces B(X) = B(X, X) es un álgebra de Banach. Un operador A ∈ B(X, Y ) se dice que es invertible por la izquierda (resp., por la derecha) si existe un operador B ∈ B(Y,X) tal que BA = Iᵪ (resp., AB = Iᵧ ), donde Iᵪ y Iᵧ son los operadores identidad en los espacios X y Y , respectivamente. El operador B es llamado un inverso izquierdo (resp., derecho) del operador A. Un operador A ∈ B(X, Y ) es llamado invertible si es invertible por la izquierda y por la derecha simultaneamente. Si el operador A es invertible solo por un lado (lateralmente), entonces el inverso lateral correspondiente no es único, mientras que los inversos bilaterales son únicos. Un operador A ∈ B(X) se dice que es n-normal (resp., d-normal) en X si su imagen Im A es cerrado en X y dim ker A < ∞ (resp., dim Coker A < ∞), donde Coker A := X/ Im A. Un operador A ∈ B(X) es llamado un operador de Fredholm en X si A es n-normal y d- normal simultaneamente. Sea K(X) el ideal cerrado bilateralmente de todos los operadores compactos en B(X). Es bien sabido que un operador A ∈ B(X) es de Fredholm sí y solo si la clase de equivalencia Aπ := A + K(X) es invertible en el álgebra de Calkin Bπ (X) := B(X)/K(X). Si A ∈ B(X) es de Fredholm, Entonces su índice de Fredholm es definido por ind A := dim ker A dim Coker A.